맥스웰 방정식의 4개의 연립 미분 방정식을 통해 전자기파를 예언 하였던 유도 과정을 알아 보자.

멕스웰 방정식

• 전기장에 대한 가우스법칙(전기장 발산) $$ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \tag{1} $$

• 자기장에 대한 가우스 법칙(자기장 발산) $$ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B} = 0 \tag{2} $$

• 페러데이 전자 유도(전기장의 회전) $$ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \tag{3} $$

• 앙페르-맥스웰법칙(자기장의 회전) $$ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \tag{4} $$

전자기파 유도

자유 공간에서 전하 밀도 $\rho$ 와 전도 전류 밀도 $\mathbf{J}$ 가 $0$ 이므로 멕스웰의 방정식 $(1)$ 과 $(4)$는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} = 0 \tag{1} $$

$$ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B} = \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \tag{4} $$

(4) 식의 우항에 있는 $\mathbf{E}$를 소거하기 위해 (4) 식의 양변에 회전 연산을 취하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} (\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B}) = \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} (\varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}) $$

좌항은 백터 3중곱의 연산에 의해 $$ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} (\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B}) = \boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B}) - (\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{B} $$ 가 되고 식 (2)의해 $\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B} = 0$ 이므로 다음과 같이 정리 된다.

$$ \boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B}) - (\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{B} = -\boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{B} $$

우항은 우항의 $\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times}\mathbf{E}$를 $-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$로 치환하면

$$ \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial}{\partial t}(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times}\mathbf{E}) = \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial}{\partial t}(-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}) = - \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2} $$

좌변과 우변을 정리하면 다음과 같이 정리 되고

$$ -\boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{B} = - \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2} $$ $-$를 곱하여 소거하면

$$ \boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{B} = \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2} \tag{5} $$ 가 된다.

(3) 식의 우항에 있는 $\mathbf{B}$를 소거하기 위해 (3) 식의 양변에 회전 연산을 취하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} (\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{E}) = \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} (-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}) $$

앞서 (4) 번 식과 같은 방법으로 정리하면 좌항은 다음과 같이 정리된다.

$$ \boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{E} $$

우항은 다음과 같이 정리 된다.

$$ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} (-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}) = \frac{\partial}{\partial t}(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times}\mathbf{B}) = -\frac{\partial}{\partial t}(\varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}) = - \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} $$

우항과 좌항을 같이 정리 하면

$$ -\boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{E} = - \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} $$ $-$를 곱하여 소거하면

$$ \boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{E} = \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} \tag{6} $$ 가 된다.

식 (5) 와 식(6)은 아래와 같은 식 (7)의 파동방정식을 만족한다.

$$ \boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{\mathbf{\psi}} = \frac{1}{v_2}\frac{\partial^2\mathbf{\mathbf{\psi}}}{\partial t^2} \tag{7} $$

파동방정식을 만족하는 대상은 파동으로 존재 함으로 전기장과 자기장은 파동으로 존재 한다고 할 수 있으며 식(3) 과 식 (4)의 해 시변 자기장에 의해 전기장이 형성되고 이렇게 형성된 시변 전기장에 의해 또다시 시변 자기장이 형성되고 무한이 반복되어 파동의 형태로 퍼저 나가는 것을 알 수 있다.

이때 식 (7) 우항의 $v$ 는 파동의 속도를 나타낸다. 식(5) 와 식(6) 에서 파동의 속도 $v$를 유도하면 다음과 같다.

$$ \frac{1}{v^2} = \varepsilon_0\mu_0 $$

양변에 역수를 취하면

$$ v^2 = \frac{1}{\varepsilon_0\mu_0} $$

양변에 제곱근을 취하면 다음과 같이 풀 수 있다.

$$ v = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} = 2.99 \times 10^8 \ \mathrm{m}/\mathrm{s} $$

이를 통해 전자기파의 속도가 빛의 속도와 같음을 알 수 있다. 이를 통해 빛 이 전자기파의 일종임을 유추 할 수 있다.