2 전력계법

이전 글에서 단상부하의 경우 유효전력을 측정하기 위한 3 전압계법과 3 전류계법에 대하여 알아보았다. 이번에는 평형 삼상회로 부하에서 2개의 유효전력계를 이용하여 3상 유효 전력을 측정하는 방법에 대해 알아본다.

유효전력계는 전압계, 전류계, 역률계로 구성되어 있으므로 전압계, 전류계, 역률계가 각각 2개씩 있으면 유효전력을 측정할 수 있다.

세상의 전압과 전류의 크기가 같고 그 위상이 서로 $120^\circ$ 차이날 때 평형삼상 이라고 한다. 평형 삼상회로에서 3상의 전압과 전류의 합은 $0$이다.

유효전력

3상에서 유효전력을 구하기 위해서는 선간전압과 선전류의 곱에$\sqrt{3}$배를 해주고 역률을 곱해 주어야 한다.

$$ P = \sqrt{3}VI\cos{\theta} $$

3상 부하의 전력은 각 상에서 소비하는 전력의 합이다. 한상의 소비전력은 $EI\cos{\theta}$ 이므로 3상 부하의 소비전력은 $3EI\cos{\theta}$가 된다. $Y$ 결선일 경우 선간전압이 상전압의 $\sqrt{3}$배이고 $\Delta$ 결선일 경우 선전류가 상전류의 $\sqrt{3}$배이기 때문에 소비 전력을 선간전압과 선간 전류로 나타내면 $\sqrt{3}VI\cos{\theta}$ 가 된다.

결선도

3상의 각 상을 $A$, $B$, $C$라고 하자.

$W_1$ 은 전압 $V_{ab}$, 전류 $I_a$와 이 둘 사이의 위상차 $\cos{\phi_1}$를 측정한다.

$$ W_1= V_{ab} \times I_a \times \cos{\phi_1} $$

$W_2$ 은 전압 $V_{cb}$, 전류 $I_c$와 이 둘 사이의 위상차 $\cos{\phi_2}$를 측정한다.

$$ W_2= V_{cb} \times I_c \times \cos{\phi_2} $$

삼상 평형이므로 삼상의 선간전압과 선전류는 그 크기가 같고 각 상의 위상이 $120^\circ$차 이기 때문에 그 크기만을 나타내는 $V_{ab}$와 $V_{cb}$는 $V$로 $I_1$과 $I_2$는 $I$로 바꾸더라고 등식이 성립한다.

$$ V = V_{ab} = V_{cb} $$

$$ I = I_a = I_c $$

3상 평형일 경우 위와 같은 등식이 성립함으로 $W_1$ 과 $W_2$를 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있다.

$$ W_1= V \times I \times \cos{\phi_1} $$

$$ W_2= V \times I \times \cos{\phi_2} $$

페이저도

앞서 알아본 바와 같이 $W_1$과 $W_2$이 측정하는 값은 다음과 같다.

• $W_1$ 은 전압 $V_{ab}$, 전류 $I_a$와 이 둘 사이의 위상차 $\cos{\phi_1}$를 측정한다.
• $W_2$ 은 전압 $V_{cb}$, 전류 $I_c$와 이 둘 사이의 위상차 $\cos{\phi_2}$를 측정한다.

측정값을 페이저도로 나타내면 다음과 같다.

페이저 도에서 보면,

$\phi_1$은 $V_{ab}$ 와 $I_a$ 사이의 위상차이고 $V_a$ 와 $V_{ab}$ 사이의 위상차에 $V_a$ 와 $I_a$ 사이의 위상차의 더한 값이다.

$\phi_2$은 $V_{cb}$ 와 $I_c$ 사이의 위상차이고 $V_c$ 와 $V_{cb}$ 사이의 위상차에서 $V_c$ 와 $I_c$ 사이의 위상차를 뺀 값이다.

$Y$ 결선의 경우 상전압과 선간 전압은 $30^\circ$의 위상차가 있으므로 다음과 같이 나태낼 수 있다.

$$ \phi_1 = 30 + \theta $$

$$ \phi_2 = 30 - \theta $$

$W_1$ 과 $W_2$의 $\phi_1$과 $\phi_2$를 앞에서 구한 값으로 치환 하면 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있다.

$$ W_1= V \times I \times \cos{\phi_1} = V \times I \times \cos{(30 + \theta)} $$

$$ W_2= V \times I \times \cos{\phi_2} = V \times I \times \cos{(30 - \theta)} $$

위 식은 삼각함수 덧셈정리를 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

삼각함수 덧셈정리 $\cos{(\alpha \pm \beta)} = \cos{\alpha} \cos{\beta} \mp \sin{\alpha} \sin{\beta}$

$$ W_1= V \times I \times (\cos{30}\cos{\theta} - \sin{30}\sin{\theta}) = VI\cos{30}\cos{\theta} - VI\sin{30}\sin{\theta} $$

$$ W_2= V \times I \times (\cos{30}\cos{\theta} + \sin{30}\sin{\theta}) = VI\cos{30}\cos{\theta} + VI\sin{30}\sin{\theta} $$

우효전력, 무효전력, 피상전력 그리도 역률

$W_1$ 과 $W_2$를 더해보자. $$ W_1 + W_2 = 2VI\cos{30}\cos{\theta} = 2 VI \frac{\sqrt{3}}{2}\cos{\theta} = \sqrt{3}VI\cos{\theta} $$

따라서 유효전력 $P$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ P = W_1 + W_2 $$

이번에는 $W_1$에서 $W_2$를 빼보자

$$ W_1 - W_2 = 2VI\sin{30}\sin{\theta} = 2 VI \frac{1}{2}\cos{\theta} = VI\cos{\theta} $$

위의 최종 값에 $\sqrt{3}$ 만 곱해주면 무효전력 $P_r$을 유도할 수 있다.

$$ P_r = \sqrt{3}(W_1 - W_2) $$

이제 우리는 유도한 유효전력과 무효전력을 통해 피상전력 $P_a$와 역률 $\cos{\theta}$를 유도할 수 있다.

$$ P_a = \sqrt{P^2 + P_r^2} = 2\sqrt{W_1^2 + W_2^2 - W_1W_2} $$

$$ \cos{\theta} = \frac{P}{P_a} = \frac{W_1 + W_2}{2\sqrt{W_1^2 + W_2^2 - W_1W_2}} $$

결론

2 전력계법을 통해 우리는 유효젼럭과 무효전력을 유도할 수 있고 이를 통해 피상전력과 역률을 유도할 수 있다는 것을 알았다.

$$ P = W_1 + W_2 $$

$$ P_r = \sqrt{3}(W_1 - W_2) $$

$$ P_a = 2\sqrt{W_1^2 + W_2^2 - W_1W_2} $$

$$ \cos{\theta} = \frac{W_1 + W_2}{2\sqrt{W_1^2 + W_2^2 - W_1W_2}} $$